The Poisson Boundary of Hyperbolic Groups

| The Poisson boundary for a wide class of random walks on Gromov hyperbolic groups is shown to coincide with the hyperbolic boundary. muni de l'action de G tel que la formule de Poisson f(g) = h b f; gi est une isom etrie de l'espace L 1 (G;) et l'espace H 1 (G;) des fonctions-harmoniques born ees sur G. Trivialit e de la fronti ere de Poisson signiie que l'espace des fonctions-harmoniques born ees ne contient que les fonctions constantes (le couple (G;) v eriie la propri et e de Liouville). La fronti ere de Poisson est triviale pour toutes mesures sur les groupes abeliens et nilpotents. Si le groupe G est moyennable, alors il existe toujours une mesure telle que le couple (G;) poss ede la propri et e de Liouville. D'autre part, si le groupe G n'est pas moyennable, alors la fronti ere de Poisson est toujours non-triviale 12]. Tout G-espace mesurable pouvant s'ecrire comme un quotient de la fronti ere de Pois-son est appel e une-fronti ere. Par d eenition, la fronti ere de Poisson est la-fronti ere maximale. Donc, le probl eme de l'identiication de la fronti ere de Poisson d'un couple (G;) consiste en deux parties. D'abord, il faut trouver (en termes g eom etriques ou combina-toires) une-fronti ere (B;), et ensuite, il faut montrer que cette fronti ere est en fait maximale. Supposons que G soit de type ni, est que le premier moment jj = P jgj(g) de la mesure par rapport a une jauge principale (par example, une norme du mot) j j soit ni. La distance sur G associ ee a la jauge j j G est d eenie comme d(g 1 ; g 2) = jg ?1 1 g 2 j. En utilisant la th eorie entropique des marches al eatoires, on peut obtenir les deux crit eres g eom etriques suivants de maximalit e d'une-fronti ere (B;) en termes du comportement asymptotique des trajectoires (y n) de la marche al eatoire (G;). Rapellons que chaque-fronti ere (B;) se presente comme l'image bnd (G Z + ; P) de l'espace de trajectoires. Th eor eme 2. | Soit n : B ! G une famille d'applications telle que presque s^ urement d ? y n ; n (bnd y) = o(n) ; alors la fronti ere (B;) est maximale. Soit (g) = (g ?1) la mesure oppos ee a …